【求导公式求导公式介绍】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式对于解决数学、物理、工程等领域的实际问题具有重要意义。本文将对常用的求导公式进行简要总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本求导法则
1. 常数函数的导数：
若 $ f(x) = C $（C为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数的导数：
若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $（n为任意实数）
3. 指数函数的导数：
- $ f(x) = a^x $，则 $ f'(x) = a^x \ln a $
- $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
4. 对数函数的导数：
- $ f(x) = \log_a x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
- $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数的导数：
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
- $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
- $ f(x) = \tan x $，则 $ f'(x) = \sec^2 x $
- $ f(x) = \cot x $，则 $ f'(x) = -\csc^2 x $
6. 反三角函数的导数：
- $ f(x) = \arcsin x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arccos x $，则 $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arctan x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $
二、导数的运算法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法法则 | $ (f + g)' = f' + g' $ | 两个函数之和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ (f - g)' = f' - g' $ | 两个函数之差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数乘积的导数为导数与另一函数的和 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数为分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数为外层函数导数乘内层函数导数 |
三、常见函数的导数表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、总结
求导是微积分的核心内容之一，掌握各类函数的导数公式有助于快速计算函数的变化率。通过上述总结和表格，可以系统地了解不同函数的导数规则及运算方法，为后续的学习和应用打下坚实基础。