【反函数基本公式】在数学中，反函数是函数的重要概念之一。它描述了原函数的“逆操作”，即如果一个函数将输入x映射到y，那么它的反函数则将y映射回x。理解反函数的基本公式有助于我们在解题和应用中更加灵活地处理函数关系。
以下是对反函数基本公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、反函数的基本定义
设函数 $ y = f(x) $ 是一个从集合A到集合B的函数，若对于每一个 $ y \in B $，都有唯一的 $ x \in A $ 满足 $ y = f(x) $，则称该函数为一一对应函数（或双射函数），此时可以定义其反函数，记作 $ x = f^{-1}(y) $。
换句话说，反函数 $ f^{-1} $ 是满足：
$$
f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{且} \quad f^{-1}(f(x)) = x
$$
的函数。
二、反函数的基本公式
| 原函数 | 反函数 | 条件 |
| $ y = x + a $ | $ x = y - a $ | 任意实数a |
| $ y = ax $ | $ x = \frac{y}{a} $ | $ a \neq 0 $ |
| $ y = a^x $ | $ x = \log_a(y) $ | $ a > 0, a \neq 1 $, $ y > 0 $ |
| $ y = \ln(x) $ | $ x = e^y $ | $ x > 0 $ |
| $ y = \sin(x) $ | $ x = \arcsin(y) $ | $ -1 \leq y \leq 1 $, $ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ |
| $ y = \cos(x) $ | $ x = \arccos(y) $ | $ -1 \leq y \leq 1 $, $ x \in [0, \pi] $ |
| $ y = \tan(x) $ | $ x = \arctan(y) $ | 任意实数y，$ x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ |
三、反函数的求法步骤
1. 交换变量：将原函数中的 $ x $ 和 $ y $ 互换。
2. 解方程：将新的表达式解出 $ x $，得到 $ x = f^{-1}(y) $。
3. 验证：检查是否满足 $ f(f^{-1}(y)) = y $ 和 $ f^{-1}(f(x)) = x $。
四、注意事项
- 并非所有函数都有反函数，只有一一对应的函数才有反函数。
- 若函数不是单调的，需对定义域进行限制，使其成为一一对应的函数。
- 反函数的图像与原函数的图像是关于直线 $ y = x $ 对称的。
通过掌握这些反函数的基本公式和方法，可以更高效地处理涉及反函数的问题，尤其在微积分、三角函数和指数函数等领域中具有广泛应用。